Elementos, de Euclides
Euclides viveu de 330 a 275 a.C.
e encontrava-se em Alexandria
por volta do ano 300, depois
de educar-se em Atenas. Foi
o primeiro diretor do departamento
de matemáticas do Museu.
Embora não seja considerado
como o mais original e criativo
dos matemáticos gregos,
possuía um conhecimento
muito detalhado da tradição
dessa disciplina na Grécia,
incumbindo-se diretamente de
sistematizá-lo e ordená-lo
em seus Elementos.
Colin A. Ronan, da Universidade
de Cambridge, historiador da
ciência afirma a esse propósito: “A
fama de Euclides repousa basicamente
nos Elementos, síntese
sistemática da geometria
grega que, até muito recentemente,
foi a base de todo o ensino dessa
ciência no Ocidente. Na
verdade, sua influência
foi muito maior: considera-se
que seu método de síntese – seus
axiomas, postulados, teoremas
e provas – afetou o pensamento
ocidental mais do que qualquer
outro livro, exceto a Bíblia.
Teve, por certo, um efeito profundo
no modo pelo qual os problemas
são resolvidos, pois é magistral
a maneira lógica com que
Euclides faz cada proposição
seguir-se às previamente
demonstradas”. (História
Ilustrada da Ciência. Universidade
de Cambridge. Vol. I – Das
origens à Grécia.
Rio de Janeiro, Zahar, 1987,
p. 117).
L.W.H. Hull observa que a crítica
moderna descobriu defeitos nos Elementos de
Euclides. Contudo, acrescenta, “é uma
façanha assombrosa ter
escrito um livro que desempenhou
parte ativa no desenvolvimento
das matemáticas durante
dois mil anos e que nunca perderá seu
atrativo de grande clássico
para os que gostam desse tema.
Muitos matemáticos célebres
sentiram despertar sua vocação
com a leitura dos Elementos”.(História
e filosofia da ciência.
(Trad. Espanhola). Barcelona,
Ariel, 1961, p. 98).
Os Elementos estabeleceram
o paradigma do raciocínio
matemático. Assim, começa
pelas noções mais
elementares e somente a partir
daí insere definições
gerais, axiomas e postulados.
Começa pela noção
de ponto (“o que não
tem partes”), seguindo-se
a caracterização
da linha como uma longitude (extensão)
sem largura; a superfície
como aquilo que só tem
largura e extensão, e,
o corpo, o que tem largura, extensão
e profundidade. Depois disto é que
introduz definições
mais abrangentes como a seguinte: “os
extremos da linha são
pontos, os da superfície,
linhas e, os dos corpos, superfícies”.
Vê-se que Euclides estava
familiarizado com a Lógica de
Aristóteles.
Embora os Elementos hajam
sido precedidos de grandes debates
onde a estrutura da matemática
e os pontos controversos haviam
sido fixados, foi Euclides que
popularizou no Ocidente a natureza
do raciocínio matemático,
embora em sua exposição
não existam números
mas simples enunciados. A Escola
de Pitágoras, que florescera
no século VI a.C., era
uma espécie de irmandade
de tipo religioso. E o próprio
Platão considera aquele
conhecimento ressaltando o seu
lado místico. Aristóteles
tratou o assunto com o estilo
racional que o caracteriza mas
a sistematização
e ordenação do
conhecimento científico
da Grécia Antiga é obra
do Museu de Alexandria, isto é,
do chamado período helenístico,
posterior à época áurea
dos séculos V e IV. Nos Elementos é que
se encontra a distinção
básica entre axioma e
postulado, que constitui uma
espécie de coluna vertebral
daquele tipo de conhecimento.
Desde Euclides, axioma é a
premissa evidente por si mesma,
de aprovação imediata,
sem o imperativo da demonstração.
Enquanto que o postulado pode
ser aceito como premissa geral,
necessária ao contexto
dado, podendo ser indemonstrável.
Justamente um dos postulados
de Euclides, o das paralelas,
daria origem a outras geometrias,
batizadas de não-euclidianas.
Quanto ao modo de exposição
de Euclides, sem o recurso a
números, cumpre ter presente
que o cálculo matemático
somente se desenvolveu na Época
Moderna, presumivelmente em decorrência
da nomenclatura arábica,
que a facilitara enormemente,
o que não ocorria com
o algarismo romano. A nova nomenclatura
foi denominada de arábica
porque o seu conhecimento seria
proporcionado pela presença árabe
na Península Ibérica.
Mas não lhes pode ser
atribuído, do mesmo modo
que a cultura clássica,
de que também foram intermediários,
sem virtualmente se deixarem
contagiar por seus princípios.
(Ver também PTOLOMEU).
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